Résumé
Je bloque sur la question 3 : on me demande de déterminer la dérivée de \( f(x)=x^2\sqrt{x+1} \) et d’étudier son signe. J’ai du mal à appliquer le produit avec la racine.
Énoncé & tentative
J’ai essayé la dérivation du produit \( u\cdot v \) avec \( u=x^2 \) et \( v=\sqrt{x+1} \), mais je ne suis pas sûre de ma simplification. Toute aide pas-à-pas m’aiderait beaucoup 🙏
Pose \( u=x^2 \) et \( v=(x+1)^{1/2} \). Alors \( u' = 2x \) et \( v' = \tfrac{1}{2}(x+1)^{-1/2} \).
\( f' = u'v + uv' = 2x\sqrt{x+1} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} = \frac{4x(x+1) + x^2}{2\sqrt{x+1}} = \frac{5x^2 + 4x}{2\sqrt{x+1}}. \)
Le signe de \( f' \) dépend de \( x(5x+4) \) avec \( x \geq -1 \) (domaine).